Integrace elementárních transcendentních funkcí

• rozšíření racionálních lomených funkcí o přirozený logaritmus a exponencielu (viz obory algebraických výrazů )

• Věta (Liouville) Nechť K je diferenciální pole a f je z K . Potom elementární rozšíření pole K, které má stejné pole konstant jako K a obsahuje prvek g takový, že g'=f , existuje tehdy a jen tehdy pokud existují konstanty c₁,...,c_n z K a funkce u, u₁, ...,u_n z K takové, že
  
  $$f=u'+\sum_{i=1}^n c_i\frac{u_i'}{u_i}$$
  
  
  tj.
  
  $$g=\int f = u + \sum_{i=1}^n c_i \ln u_i$$
  
  

• Risch 1968,69 - první rozhodovací algoritmy pro integraci elementárních transcendentních a algebraických funkcí; algoritmy rozhodnou zda integrál existuje v dané třídě funkcí a pokud existuje tak ho spočítají