Analytický výpočet srážkových integrálů

• podle A. Salat, Plasma Physics, Vol. 17, p. 589-607, (1975).

• společný tvar integrálů

  
  

  $$\int\int \exp\left(-\frac{(\vec{v}-\vec{u}_s)^2}{a_s^2}- \fr... ...rac{P(\vec{v},\vec{u})}{\vert\vec{v}-\vec{u}\vert^3} d^3v d^3u$$
  
  

• transformace proměnných, nový tvar

  
  

  $$\int\int\exp\left(-\frac{C^2}{a^2}-\frac{\vert\vec{g}-\vec{u}... ...^2}{\alpha^2}\right) \frac{P(\vec{C},\vec{g})}{g^3} d^3C d^3g$$
  
  

• součet 288 členů až do 9. stupně ve v , jeden člen 9. stupně ve v dává po dosazení 19 683 členů, celkem v jedné části jednoho srážkového integrálu je 259 584 členů (1 člen je součin vystupující v součtu)

  3

• integrace přes d C pomocí odvození z

  
  

  $$\int \exp(-x^2) d\:x = \sqrt{\pi}$$
  
  
  3
• integrace přes d g ; rotace a transformace do sférických souřadnic g,theta,fi (z = cos theta)

  
  

  $$\begin{eqnarray*}&&\int_{-1}^1\int_0^\infty\int_0^{2\pi} P(\vec{g}) d\:\phi \fr... ...z \frac{u_i}{u}+g\sqrt{1-z^2}(e_{2i}\cos\:\phi+e_{3i}\sin\:\phi) \end{eqnarray*}$$
  
  
• integrace přes d fi , součiny cos fi, sin fi , eliminace e , e 2i 3i

  
  

  $$e_{2i}e_{2j}+e_{3i}e_{3j} = \delta_{ij}-\frac{u_i u_j}{u^2}$$
  
  

• integrace přes d g

  
  

  $$\begin{eqnarray*}\int_0^\infty g^n \exp&&\left(-\frac{g^2-2guz}{\alpha^2}\right)... ...pha^2} \right) {\rm erfc}\left(-\frac{uz}{\alpha}\right)\right] \end{eqnarray*}$$
  
  
• integrace přes d z

  
  

  $$\begin{eqnarray*}I_k&=&\int_{-a}^a w^{2k+1} \exp (w^2) {\rm erfc}(-w) d\:w\\ w&... ...k}&=&a^{2k}\exp(a^2){\rm erf}(a)-\frac{a^{2k+1}}{2k+1}-k I_{k-1} \end{eqnarray*}$$
  
  
• konečný výsledek obsahuje pouze elementární funkce a chybovou funkci

• algebraický program v REDUCE nemohl spočítat všechny srážkové integrály a musel být přepsán na efektivní symbolický program

• urychlení symbolického programu v závislosti na velikosti srážkového integrálu

         ------------------------------------------------
  

  Velikost malý střední velký

         ------------------------------------------------
  

  Urychlení 3x 7x ?

         ------------------------------------------------