Mechanika - nelineární obyčejné diferenciální rovnice

• podle D.M. Klimov, V.M. Rudenko, Computer Algebra Methods in Mechanics, Nauka, (1989).

• nelinární periodický pohyb, nelineární ODR

  
  

  $$U''+\omega_0^2 U= \varepsilon f(U',U,\varepsilon)$$
  
  

• nová časová proměnná .5320a je neznámá frekvence

  
  

  $$\omega^2 U''+\omega_0^2 U=\varepsilon f(\omega U',U,\varepsilon)$$
  
  

• Poincareho poruchová metoda, rozvoj do mocninných řad

  
  

  $$\begin{eqnarray*}U&=& \sum_{i=0}^\infty U_i(\tau) \varepsilon^i\\ \omega&=&\sum_{i=0}^\infty \omega_i \varepsilon^i \end{eqnarray*}$$
  
  
• příklad - van der Polova rovnice

  
  

  $$\begin{eqnarray*}&U''+U-\varepsilon\;U'(1-U^2)=0\\ &\omega^2 U''+U -\varepsilon \omega U'(1-U^2)=0 \end{eqnarray*}$$
  
  
• po dosazení mocninné řady

  
  

  $$\begin{eqnarray*}\varepsilon^0:&& \omega_0^2 U_0''+U_0=0\\ \varepsilon^1:&& \om... ...(1-U_0^2)-2\omega_0 U_0'U_1 U_0+\omega_0 U_1'(1-U_0^2)\\ \vdots \end{eqnarray*}$$
  
  

• počáteční podmínka

• řešení nultého řádu

• řešení prvního řádu

  
  

  $$U_1''+U_1=2\omega_1 A_0\cos\:\tau-A_0\sin\:\tau(1-A_0^2\cos\:\tau)$$
  
  

• po Fourierovském rozvoji

  
  

  $$\begin{eqnarray*}U_1''+U_1&=&2\omega_1 A_0\cos\:\tau+A_0\sin\:\tau \left(\frac{A_0^2}{4}-1\right)\\ &&+\frac{A_0^3}{4} \sin(3\tau) \end{eqnarray*}$$
  
  
• aby v řešení nebyly sekulární členy, musí být koeficienty u sin , cos na pravé straně nulové

  
  

  $$2\omega_1A_0=0\;,\;\;\;A_0\left(\frac{A_0^2}{4}-1\right) = 0$$
  
  

• řešení

  
  

  $$\begin{eqnarray*}U_0&=&2 \cos\:\tau, \omega_0=1\\ U_1&=&A_1\cos\:\tau+B_1\sin\:\tau-\frac{1}{4}\sin(3\tau)\;,\;\; \omega_1=0 \end{eqnarray*}$$
  
  
• z počáteční podmínky

• rovnice druhého řádu

  
  

  $$\begin{eqnarray*}U_2''+U_2&=&2 A_1\sin\:\tau+(4\omega_2+\frac{1}{4})\cos\:\tau-\... ...frac{5}{4} \cos(5\tau)\\ \omega_2&=&-\frac{1}{16}\;,\;\;\;A_1=0 \end{eqnarray*}$$
  
  
• řešení prvního řádu

  
  

  $$U_1=\frac{3}{4}\sin\:\tau - \frac{1}{4} \sin(3\tau)\;,\;\;\; \omega_1=0$$
  
  

• řešení druhého řádu

  
  

  $$U_2=A_2 \cos\:\tau + B_2 \sin\:\tau +\frac{3}{16} \cos(3 \tau) -\frac{5}{96} \cos(5\tau)$$
  
  

• atd. pro vyšší řády