Nebeská mechanika - nelineární algebraické rovnice

• podle J.P. Fitch, International Conference on Computer Algebra and its Applications in Theoretical Physics, p.262-275, Dubna, (1985).

• řešení v řadách v malém parametru

  
  

  $$y^2=1-\varepsilon$$
  
  

• řešení nultého řádu y = +/- 1 , řešení n -tého řádu y 0 n

  
  

  $$y=y_n+\eta+O(\varepsilon^{n+2})$$
  
  
  
  
  $$\eta=\varepsilon^{n+1}\vartheta$$
  
  
  
  
  $$(y_n+\eta+O(\varepsilon^{n+2}))^2=1-\varepsilon$$
  
  
  
  
  $$y_n^2+\eta^2+2\eta y_n+O(\varepsilon^{n+2})=1-\varepsilon$$
  
  
  
  
  $$y_n^2+2\eta y_0+O(\varepsilon^{n+2})=1-\varepsilon$$
  
  
  
  
  $$\eta=\frac{1}{2}(1-\varepsilon-y_n^2)+O(\varepsilon^{n+2})$$
  
  

• výsledné iterační schema

  
  

  $$\begin{eqnarray*}y_0&=&1\\ y_{n+1}&=&y_n+\frac{1}{2}(1-\varepsilon-y_n^2) \end{eqnarray*}$$
  
  

• další příklad - Keplerova rovnice

  
  

  $$E=u+\varepsilon\;\sin\:E$$
  
  

• řešení nultého řádu E = u , řešení n -tého řádu E 0 n

  
  

  $$E=E_n+\eta+O(\varepsilon^{n+2})$$
  
  
  
  
  $$E_n+\eta=u+\varepsilon\;\sin(E_n+\eta)+O(\varepsilon^{n+2})$$
  
  
  
  
  $$E_n+\eta=u+\varepsilon(\sin\:E_n\;\cos\:\eta+\cos\:E_n\;\sin\:\eta) +O(\varepsilon^{n+2})$$
  
  
  
  
  $$E_n+\eta=u+\varepsilon\;\sin\:E_n+O(\varepsilon^{n+2})$$
  
  
  
  
  E_n=u+A_n
  
  

  
  

  $$A_{n+1}=\varepsilon\;\sin(u+A_n)$$
  
  
  
  
  $$A_{n+1}=\varepsilon(\sin\:u\;\cos\:A_n+\cos\:u\;\sin\:A_n)$$
  
  
  
  
  $$\begin{eqnarray*}A_0&=&0\\ A_{n+1}&=&\varepsilon\;\sin\:u \left(1-\frac{A_n^2}{... ...u \left(A_n-\frac{A_n^3}{3!}+\frac{A_n^5}{5!}- \ldots \right)_n \end{eqnarray*}$$
  
  
• konečné řešení ve tvaru Fourierovy řady

  
  

  $$A_n=\sum_{j=0}^n P_j(\varepsilon) \sin(ju)$$
  
  

• Fourierovy řady jsou používány specializovanými systémy počítačové algebry jako je CAMAL nebo TRIGMAN