Postup pro jednoduchý příklad

• jednoduchý příklad
  
  $$S(n)=\sum_{i=1}^n \frac{1}{i(i+2)}, {\rm tj.} a_i=\frac{1}{i(i+2)}$$
  
  

• vyjádříme
  
  $$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{(n-1)(n+1)}{n(n+2)}=\frac{q(n)p(n)}{p(n-1)r(n)}$$
  
  

• kde jsme označili
  
  $$\begin{eqnarray*}p(n)&=&n+1\\ q(n)&=&n-1\\ r(n)&=&n+2 \end{eqnarray*}$$
  
  

• zkusíme vyjádřit součet S(n) jako

   $$\begin{eqnarray}\html{eqn0}S(n)&=&\frac{q(n+1)}{p(n)} a_n f(n) \\ &=&\frac{n}{(n+1)}\frac{1}{n(n+2)}f(n) \nonumber \end{eqnarray}$$

  
  

• kde f(n) je polynom v n  $$a_n=S(n)-S(n-1)$$
  

• dosadíme (2.1) do (2.2) a dostaneme rekurentní vzorec pro f(n)  $$n+1=n f(n)-(n+2)f(n-1)$$
  

• abychom mohli tento rekurentní vzorec vyřešit potřebujeme znát stupeň polynomu f(n)

• přepíšeme (2.3) jako

   $$\begin{eqnarray}\html{eqn5}n+1&=&(n-(n+2))\frac{f(n)+f(n-1)}{2} \\ &&+(n+(n+2))\frac{f(n)-f(n-1)}{2}\nonumber \end{eqnarray}$$

  
  

• dosadíme
  
  $$f(n)=c_kn^k+c_{k-1}n^{k-1}+\ldots+c_0$$
  
  
  do (2.4) a dostaneme
  
  n+1=(k-2)c_k n^k + O(n^k-1)
  
  

• a tedy k <= 2 (pro k > 2 plyne z předchozí rovnice c = 0 ) k

• f(n) je polynom maximálně druhého stupně
  
  f(n)=c₂ n²+c₁ n+c₀
  
  

• řešení (2.3) potom je
  
  $$\begin{eqnarray*}c_0&=&x \in R\\ c_1&=&\frac{5+6 x}{4}\\ c_2&=&\frac{3+x}{4} \end{eqnarray*}$$
  
  kde x je libovolný reálný parametr

• hodnotu x dostaneme z počáteční podmínky S(0)=0 , čili x=0 a
  
  $$f(n)=\frac{3n^2+5n}{4}$$
  
  

• konečné řešení