Resultant

• mějme dva polynomy a, b s koeficienty z okruhu O

• okruh O mohou být např. celá čísla nebo polynomy v dalších proměnných
  
  $$a = \sum_{i=0}^n a_i x^i\;, \quad\quad b = \sum_{i=0}^m b_i x^i$$
  
  

• Sylvestrova matice polynomů a, b je matice
  
  $$\left( \begin{array}{ccccccccc} a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 ... ...s & 0 & 0 & b_m & b_{m-1}&\cdots& b_1 & b_0 \end{array}\right)$$
  
  

• kde m řádků je konstruováno z koeficientů polynomu a, n řádků z koeficientů polynomu b

• resultant polynomů a, b podle proměnné x , označovaný jako Res(x,a,b) je determinant Sylvestrovy matice

• vzhledem ke speciální struktuře Sylvestrovy matice můžeme resultant počítat následujícím rekursivním algoritmem

• Algoritmus

        res:=RES(x,a,b)
          [a, b jsou polynomy
           použité algoritmy:
             rem(a,b) - zbytek po dělení polynomu a polynomem b
             deg(a)   - stupeň polynomu a
             lcof(a)  - vedoucí koeficient polynomu a, tj. koeficient
                        u x^deg(a)]
        1. n:=deg(a);
           m:=deg(b);
        2. if n > m then res:=(-1)^(nm) RES(x,b,a);
             else lc:=lcof(a);
                  if n = 0 then res:=lc^m;
                    else r:=rem(b,a);
                         if r = 0 then res:=0;
                           else p:=deg(r);
                                res:=lc^(m-p) RES(x,a,r);
                         fi
                  fi
           fi
  

• tento algoritmus postupně nahrazuje v Sylvestrově matici řádky z koeficientů polynomu b řádky z koeficientů zbytku rem(b,a) , které jsou dány lineární kombinací řádků původní matice

• po takovémto nahrazení vznikne matice, která má v prvních m-p sloupcích pod diagonálou nuly a na diagonále lc ; blok této matice skládající se z posledních n-p řádků a posledních n-p sloupců je potom Sylvestrovou maticí polynomů a, r ; v případě splnění podmínek uvedených v algoritmu můžeme tedy použít vzorec RES(x,a,b):=lc⁽m-p) RES(x,a,r)