Stiff rovnice (rovnice se silným tlumením)

Jsou to rovnice, které v sobě obsahují útlum s charakteristickým časem $\tau_1 \ll \tau_{i \ne 1}$ - jiné charakteristické časy úlohy. I když pro $\tau \gg \tau_1$ je rychle se tlumící složka zanedbatelně malá, přesto je u dosud popsaných metod nutno užívat krok $h \mbox{$\stackrel{<}{\sim}$}\tau_1$. Takové rovnice nazýváme stiff (rovnice se silným tlumením).

Nejjednodušší stiff rovnice jsou druhého řádu, například

$$y'' + 101 y' + 100 y = 0 \ \ ,$$

která má řešení ve tvaru

$$y = c_1\, \exp (-100\, x) + c_2\, \exp (-x)\ \ .$$

kde $\tau_1 = 0.01 \ll \tau_2 = 1$. Pro obvyklé metody musí být krok $h \mbox{$\stackrel{<}{\sim}$}0.01$.

Příčinu potíží si ukážeme na ještě jednodušší rovnici

$$y' = -100 y + 100 \quad {\rm s~podm.} \quad y(0) = y_0\ \ ,$$

která má analytické řešení $y = (y_0 - 1)\cdot \exp (-100\, x) + 1$. Řešíme-li ji numericky Eulerovou metodou, máme řešení

$$y_{n+1} = y_n + h (-100 y_n + 100)\quad ,\, {\rm tedy} \quad y_n = (y_0 -1) (1 - 100 h)^n + 1$$

Je-li $h > 0.02$, první člen v absolutní hodnotě roste a řešení je zcela chybné. Obvyklá Eulerova metoda je metoda explicitní. Implicitní metody zde dovolují podstatně prodloužit krok.

Implicitní Eulerova metoda

$$y_{n+1} = y_n + h f(x_{n+1}, y_{n+1})$$

má pro danou rovnici tvar

$$\!\!\!\! y_{n+1} = y_n + h (-100 y_{n+1} + 100)\quad \Rightarrow \quad y_n = 1 + \frac{y_0 - 1}{(1 + 100 h)^{n}}$$

Zde řešení konverguje k 1 pro libovolně velké $h$.

Metody, které dovolují prodloužit krok pro stiff rovnice se nazývají stiff stabilní. Průkopníkem těchto metod byl C. W. Gear (1971).