Next: Semiimplicitní Eulerova metoda
Up: Stiff rovnice (rovnice se
Previous: Stiff rovnice (rovnice se
Uvažujeme pro jednoduchost jen jednu rovnici
,
která má hladké řešení
. Spočítáme numericky řešení
v bodech
. Chceme, aby pro
byla chyba
numerického řešení omezená
Dosadíme do diferenciální rovnice
Odtud pro derivaci chyby platí
Přibližně můžeme brát
jako konstantní a pak
kde
je dáno metodou numerického řešení diferenciální rovnice.
Pro Eulerovu metodu je
. Aby bylo
pro
, musí být
. Pro Eulerovu metodu
musí být
.
Pro systém rovnic je chyba vektor
a jeho derivace je dána
maticí J. Je tedy
Nechť J není defektní a existuje tedy pro
,
vlastní vektor
. Potom lze vyjádřit
Pak lze chybu v
-tém kroku zapsat ve tvaru
Pak chyba je omezená v limitě
právě
tehdy, když pro
je, že
Z této podmínky mohu najít maximální krok
takový, že absolutní chyba
metody nebude postupně narůstat (metoda je stabilní pro daný krok).
Pozn. Pro
Eulerovu metodu je
.
Def. Metoda je A-stabilní, jestliže je
Pozn. A-stabilní metoda je stabilní pro
délky kroku
.
Implicitní Eulerova metoda je A-stabilní.
Zde
a tedy
na množině (vnějšek kruhu)
.
Pozn. V praxi se obvykle užívají implicitní metody vyššího řádu.
Next: Semiimplicitní Eulerova metoda
Up: Stiff rovnice (rovnice se
Previous: Stiff rovnice (rovnice se
Jiri Limpouch
2000-05-25