Aproximace Čebyševovými polynomy se lehce konstruuje a je téměř
tak přesná jako nejlepší stejnoměrná aproximace.
Často se používá pro výpočet funkcí.
Pro interpolaci Čebyševovými polynomy se libovolný interval
lineárně transformuje na interval
Každému
přiřadíme hodnotu
funkčním předpisem
Polynomy 0-tého a 1-ního stupně jsou tedy a .
Čebyševův polynom -tého stupně lze též vyjádřit pomocí
rekurentního vztahu
Pomocí rekurentního vztahu lze odvodit tvar dalších Čebyševových polynomů
Kořeny a extrémy
Čebyševův polynom má kořenů v intervalu
v bodech
Ortogonalita
Čebyševovy polynomy jsou ortogonální polynomy
s vahou
na intervalu
Diskrétní ortogonalita
Nechť ,
jsou
kořeny Čebyševova polynomu . Pak pro
platí
Aproximace Čebyševovými polynomy
Funkci aproximujeme
Hodnoty funkce jsou rovny hodnotám funkce ve všech
nulových bodech polynomu .
Výpočet funkce pomocí Čebyševových polynomů
Často volíme pro výpočet koeficientů relativně vysoký řád
aproximace
(procedura CHEBFT v knihovně Numerical Recipies).
Koeficienty Čebyševova rozvoje jdou obvykle relativně
rychle. Vysoké dovoluje přesně stanovit počet členů potřebných
pro výpočet funkce se zadanou přesností .
Pokud je
,
potom pro výpočet funkce stačí použít prvních členů rozvoje
(procedura CHEBEV v knihovně Numerical Recipies).
Pozn. Počítání Lagrangeova polynomu s body danými nulovými body
Čebyševova polynomu je možné, ale pro je méně přesné a
obtížnější.
Pozn. Procedura CHEBEV používá pro sumu funkcí zadaných
rekurentně používá Clenshawovy formule.
Pokud je řada funkcí dána rekurentně
Integrál a derivace pomocí Čebyševových polynomů
Koeficienty Čebyševova rozvoje integrálu funkce jsou dány