Některá spojitá rozdělení

Stejnoměrné rozdělení
Stejnoměrné rozdělení má konstantní hustotu pravděpodobnosti v nějakém intervalu $(a,b)$ a nulovou hustotu pravděpodobnosti mimo něj

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}\frac{1}{b-a} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & x \in (a,b) \\ 0 & x < a \vee x > b \end{array} \right.$$

Normální (Gaussovo) rozdělení
Hustota pravděpodobnosti je pro normální rozdělení o střední hodnotě $EX = \mu$ a směrodatné odchylce $\sigma_X = \sigma$ dána vztahem

$$f(x) = N(\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\ \exp \left(- \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}\right)$$

Každé normální rozdělení může být lineární transformací $w = (x-\mu)/\sigma$ převedeno na základní normální rozdělení $N(0,1)$.

Distribuční funkce pro normální rozdělení $N(0,1)$

$$\Phi (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x \exp \left( - \frac{t^2}{2} \right) {\rm d}t$$

Distribuční funkce pro normální rozdělení $N(\mu,\sigma^2)$

$$F(x) = \Phi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)$$

Většinou není tabelována $\Phi (x)$, ale je tabelována chybová funkce ${\rm erf} (x)$

$${\rm erf} (x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x {\rm e}^{-t^2} {\rm d}t$$

Pak distribuční funkce pro normální rozdělení $N(0,1)$ je

$$\Phi (x) = \frac{1}{2} \left[ 1 + {\rm erf} \left( \frac{x}{ \sqrt{2} } \right) \right]$$

Charakteristická funkce normálního rozdělení je

$$\Psi (t) = \int_{-\infty}^{\infty} \exp (itx) \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\... ... - \mu)^2}{2 \sigma^2}\right) \; {\rm d}x \stackrel{w \equiv (x-\mu)/\sigma}{=}$$

$$= \exp (i\mu t - \sigma^2 t^2/2) \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}... ... - i \frac{\sigma t}{\sqrt{2}} \right)^2 \right] {\rm d}w }_{\displaystyle 1} =$$

$$= \exp (i\mu t - \sigma^2 t^2/2)$$