Metoda sítí (konečných diferencí)

Položme $x_0 \equiv a$ a $x_{N+1} \equiv b$. Vložíme mezi $a$ a $b$ body $x_1, \dots, x_n$. Budeme hledat aproximaci řešení v uvedených bodech. Nejjednodušší je ekvidistantní krok $\Delta x_k = x_{k+1} - x_k = (b - a)/(N + 1) = h$. Derivace lze nahradit konečnými diferencemi různě. Například

$$v'(x) \approx \frac{v (x+h) - v(x)}{h}$$

a protože platí

$$v'(x) - \left[ \frac{v(x + h) - v(x)}{h} \right] = \frac{1}{2} v''(x) h + O(h^2) ,$$

máme metodu prvního řádu přesnosti. Pokud ovšem nahradíme derivaci vztahem

$$v'(x) \approx \frac{v (x+h) - v(x-h)}{2h},$$

dostaneme metodu druhého řádu, protože platí

$$v'(x) - \left[ \frac{v(x + h) - v(x - h)}{2h} \right] = - \frac{h^2}{3!} v'''(x) h + O(h^4).$$

Pro druhou derivaci platí vztah druhého řádu přesnosti

$$v''(x) = \frac{v(x+h) - 2 v(x) + v(x-h)}{h^2} - \frac{h^2}{12} v^{(4)}(x) + O(h^4).$$

Ukázka pro lineární diferenciální rovnici

$$\!\!\!\!\!\!\!\! a(x) v'' + b(x) v' + c(x) v~= d(x) \qquad x \in \langle 0, 1 \rangle \qquad v(0) = \alpha \quad v(1) = \beta$$

Tuto rovnici lze pro všechna $i = 1, \dots, N$ aproximovat diferenční rovnicí

$$a_i \frac{v_{i+1} - 2 v_i + v_{i-1}}{h^2} + b_i \frac{v_{i+1} - v_{i-1}}{2h} + c_i v_i = d_i.$$

Tuto rovnici můžeme pro $i = 1, \dots, N$ upravit na tvar

$$\underbrace{(- a_i + b_i \frac{h}{2})}_{r_i} v_{i-1} + \unde... ...nderbrace{(-a_i - b_i \frac{h}{2})}_{q_i} v_{i+1} = - h^2 d_i.$$

Potom řešíme soustavu lineárních rovnic pro $v_i$

$$\left[ \begin{array}{ccccccc} p_1 & q_1 & 0 & & \dots & & 0 ... ...\\ d_{n-1} \\ d_n + q_n \frac{\beta}{h^2} \end{array}\right].$$

Lze dokázat, že pokud $h \to 0$, pak pro $\forall \ i = 1, \dots, N$ platí $\vert v_i - v(x_i)\vert \to 0$.

Pozn. Pokud okrajové podmínky obsahují derivace, musíme je též aproximovat. Ke zvýšení řádu této aproximace často užíváme virtuálních bodů $x_{-1}$ a $x_{N+2}$.

Pozn. Při řešení okrajových úloh pro obyčejné diferenciální rovnice metodou sítí je nutno řešit systémy lineárních rovnic s pásovou maticí.