Nechť pro číslo
takový,
že
. Pak je
vlastní číslo a vektor je vlastní vektor matice .
2 typy úloh
Charakteristický polynom matice - determinant
.
Pozn. Je-li matice , je charakteristický
polynom -tého stupně, a tedy má kořenů (mohou být i vícenásobné). Ke
každému vlastnímu číslu alespoň 1 vlastní vektor.
Počet lineárně nezávislých (LN) vlastních vektorů je
( je násobnost vlastního čísla).
Pozn. Matice defektní má lineárně nezávislých
vlastních vektorů. Příklad
Pozn. Reálná matice může mít komplexně sdružená vlastní čísla
a vlastní vektory. Například
Normální matice je taková, že
Normální matice řádu má LN vlastních vektorů.
Pozn. Symetrická matice (
) má všechna vlastní čísla reálná.
Pozn. Trojúhelníkové matice mají všechna
vlastní čísla na diagonále.
Věta Podobné matice a
mají stejná vlastní čísla (stejné spektrum).
Odvození
Věta Ke každá matici jí podobná matice
v Jordanově normálním tvaru
Pozn. Pro normální matici podobná
matice diagonální.
Pozn. Neexistuje finitní postup jak provést transformaci matice
na Jordanův normální tvar.
Numerické metody řešení úplného problému vlastních čísel