Nechť pro číslo
takový,
že
. Pak
je
vlastní číslo a vektor
je vlastní vektor matice
.
2 typy úloh
Charakteristický polynom matice - determinant
.
Pozn. Je-li matice
, je charakteristický
polynom
-tého stupně, a tedy má
kořenů (mohou být i vícenásobné). Ke
každému vlastnímu číslu
alespoň 1 vlastní vektor.
Počet
lineárně nezávislých (LN) vlastních vektorů je
(
je násobnost vlastního čísla).
Pozn. Matice defektní má lineárně nezávislých
vlastních vektorů. Příklad
Pozn. Reálná matice může mít komplexně sdružená vlastní čísla
a vlastní vektory. Například
Normální matice je taková, že
Normální matice řádu
má
LN vlastních vektorů.
Pozn. Symetrická matice (
) má všechna vlastní čísla reálná.
Pozn. Trojúhelníkové matice mají všechna
vlastní čísla na diagonále.
Věta Podobné matice a
mají stejná vlastní čísla (stejné spektrum).
Odvození
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
Věta Ke každá matici jí podobná matice
v Jordanově normálním tvaru
Pozn. Pro normální matici
podobná
matice diagonální.
Pozn. Neexistuje finitní postup jak provést transformaci matice
na Jordanův normální tvar.
Numerické metody řešení úplného problému vlastních čísel