Numerické derivování

Pro výpočet numerické derivace je možno použít následujících aproximací funkcí

1. Interpolačního spline
2. Aproximace pomocí Čebyševových polynomů
3. Aproximace metodou nejmenších čtverců (u derivací funkce dané naměřenými hodnotami)
4. Interpolační polynom

   Pro stupeň polynomu $n = 1$ má derivace tvar
   

   $$f'(x) = \frac{1}{h} [-y_0 + y_1] + \frac{1}{2}\; h\; f''(\xi)\ \ ,$$
   
   
   kde $\xi \in \langle \min (x, x_0, x_1), \max (x, x_0, x_1) \rangle$.

   Pro polynom stupně $n = 2$ s ekvidistantními uzly označme
   $t = (x-x_0)/h$. Pak má vzorec pro první derivaci tvar
   

   $$f'(x) = \frac{1}{2h} [y_0 (2t - 3) - 2 y_1 (2t - 2) + y_2 (2t - 1)] + R_2(x),$$

   $$f'(x_0) = \frac{1}{2h} [-3y_0 + 4y_1 - y_2] + \frac{1}{3} h^2 f'''(\xi),$$

   $$f'(x_1) = \frac{1}{2h} [-y_0 + y_2] - \frac{1}{6} h^2 f'''(\xi),$$

   $$f'(x_2) = \frac{1}{2h} [y_0 - 4y_1 + 3y_2] + \frac{1}{3} h^2 f'''(\xi).$$

   
   

   Pro stupeň polynomu $n = 3$ je například
   

   $$f'(x_0) = \frac{1}{6h} [-11y_0 + 18y_1 - 9y_2 + 2y_3] - \frac{1}{4} h^3 f^{(4)} (\xi).$$
   
   

   Pro stupeň polynomu $n = 4$ získáme například symetrickou derivaci z 5 bodů
   

   $$f'(x_2) = \frac{1}{12h} [y_0 - 8y_1 + 8y_3 - y_4] + O(h^4).$$
   
   

   Pro $n = 6$ je například v bodě $x_3$
   

   $$f'(x_3) = \frac{1}{60h} [-y_0 + 9y_1 - 45y_2 + 45y_4 - 9y_5 + y_6] + O(h^6).$$